第171章天阶斗技


    “各位老师好，我是云川。


    我的论文题目是《高余维极小曲面在加权sobolev空间中的紧性理论与almgren猜想的一个变体》。”


    论文长度和密度让台下学长学姐倒吸凉气。


    天阶斗技就这么水灵灵地亮出来。


    云川看了眼5位正襟危坐的老师，缓缓开口，声音不高，掷地有声。


    “极小曲面理论是几何测度论的核心分支之一。


    它的研究对象是满足某种极小性条件的曲面。


    经典的teau问题，即在给定边界条件下寻找面积最小的曲面——已经被解决，但高余维的情况要比余维一的情况复杂得多。


    主要原因在于，高余维极小曲面可能出现奇异集，而这些奇异集的结构至今没有被完全理解。”


    “almgren在他1999年的专著中，对高余维极小曲面的奇异集结构做出了开创性分析，证明了奇异集的hausdorff维数不超过n-2。


    但他的证明依赖于一套极其复杂的非线性逼近理论。


    技术难度极高。


    后续学者在推广和应用时遇到了很多困难。


    我这篇论文可以看作是对almgren理论框架的一种简化和推广。”


    好，前言介绍结束，开始动真格。


    云川扒拉了一下鼠标，ppt翻到第4页。


    “我引入了一个加权sobolev空间的框架，定义了空间w^{1,p}(Ω,w)。


    其中w是一个属于a_p类的muckenhoupt权函数。


    这个空间相比于传统的sobolev空间，能够更好地描述极小曲面在某些退化或奇异区域附近的性态。


    我的第一个主要定理是：在这个加权sobolev空间中，高余维极小曲面的拟嵌入序列具有某种紧性。”


    “这个紧性定理的证明，依赖于我对almgren的‘多次逼近’技术做的一个关键改进。


    almgren原来的方法需要构造一个无限迭代的逼近序列，每一步都要重新调整尺度函数，计算量极大，而且对初始条件非常敏感。


    我改用了一种基于加权morrey空间的估计方法，将逼近次数从无限次压缩到了有限次，并且给出了一个显式的误差控制。”


    说到这，云川干脆拿起粉笔，在身后的黑板上写下推导公式。


    发出的笃笃声，像恐怖片里的间奏，狠狠砸落所有人心房。


    亲眼目睹云川刻意留白，让答辩老师消化理解，学长学姐们头皮发麻。


    对数院云川的含金量有了更直观、具体的认知。


    本科答辩还能这样？


    哪是答辩啊，分明搁这开讲座呢。


    答辩老师都快成迷弟了。


    “具体来说，我证明了如果{u_k}是极小曲面的一个拟嵌入序列，那么在经过适当的伸缩和平移之后，存在一个子序列在加权sobolev空间中强收敛到一个极限函数u。


    而这个极限函数本身也描述了一个广义极小曲面。


    这个结果的意义在于，它为研究高余维极小曲面的紧性提供了一种新的工具，而且相比于almgren原来的方法，更容易推广到其他几何变分问题中。”


    台下，5位老师面面相觑，恍如隔世。


    等会儿等会儿，什么叫你为研究高余维极小曲面的紧性提供了一种新的工具？


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    也就是说，当别人还在各种查资料，中译中憋论文的时候，你搞出了学术创新，补齐了数学短板？


    虽然只是一小块，但这是本科毕业论文啊！


    不是吧，大哥！！！


    不等老师细想，云川加快了语速，继续讲下一部分。


    理论上来说，每位同学的答辩时间不超过10分钟。


    讲述6分钟，答辩4分钟。


    讲述时间已经过半，不快不行啊。


    “接下来是我论文的第二部分。


    almgren猜想的一个变体。


    almgren猜想指出，n维极小曲面在r^{n+1}中的奇异集维数不超过n-2。


    这个猜想在余维一的情况下已经被完全证明，但在高余维的情况下仍然是一个开放问题。


    我在这篇论文中证明了一个与之相关的变体结果……”


    时间一分一秒过去，讲完定理证明翻到致谢页，云川往旁边挪了两步，向台下5位答辩老师鞠躬致谢。


    “以上就是我的论文主要内容，请各位老师斧正。”


    5位答辩老师左瞧瞧右看看，交换眼色，互相推辞，好像一群柳下惠搁那玩孔融让梨。


    没办法，他们真的挑不出毛病。


    硬挑的话感觉像找茬。


    最后还是坐中间的答辩委员会主席站了出来。


    “云川同学，我有一个问题。”


    “你在论文的第27页引用了degiorgi的一个正则性定理，然后用它来推导你的命题3.2。


    但degiorgi的原始结果是针对余维一情况的，你把它推广到高余维的时候，是否需要对权重函数w施加额外的限制？”


    云川不假思索道：“需要，我在论文的第28页到第30页之间专门讨论了这个问题。


    具体来说，我要求权重函数w不仅属于a_p类，还需要满足一个额外的局部一致条件——我称之为a_p^loc条件。


    在这个条件下，degiorgi的正则性定理可以被推广到高余维的情况。


    我在附录b中给出了这个推广的详细证明。


    核心思想是利用加权sobolev空间中的嵌入定理和moser迭代技巧。”


    老师满意地点点头，一脸欣慰，带头鼓掌。


    其余老师也后知后觉，纷纷鼓掌。


    台下，学长学姐肃然起敬，仰望大佬。


    被云川身上表现出来的自信张扬，蓬勃向上的生命力击中。


    智性恋呼叫告急！！！


    在旁人惊艳的注视下，云川的本科生涯划上了圆满的句号。


    答辩成绩要过几天才公布。


    他肯定能过啦。


    没过只有一种可能，答辩老师和马文渊教授有仇。


    不然没道理不过。


    又是一篇能发四大顶刊的论文。


    不用想，一个优秀毕业论文肯定少不了。


    兴许还能得个学术创新奖。


    走出答辩教室，云川衣角带风，意气风发。


    仿佛连阳光都是甜的。


    感觉自己魅力无限。


    “喂，妈，耍剑呢。


    不是把女孩肚子搞大，想啥呢？


    跟你说个事，我本科毕业了。”